2024-5-100

위대한 수업3(GREAT MINDS) : 모두를 위한 수학 – 테렌스 타오

1강. 직관적으로 문제 이해하기

• 수학을 이해할 능력
  • 기호와 용어 : 어려움
  • 숫자와 도형 : 쉽게 이해
• 1단계 : 규칙 이전 단계
  • 쉽게 이해, 가장 큰 수는 없다.
• 2단계 : 규칙 단계
  • 학교, 덧셈, 뺄셈, 공식, 정확한 답
  • 직관이 허용되지 않음, 기계적 계산
• 3단계 : 규칙 이후의 단계
  • 석.박사, 정식교육과 직관이 이어짐
  • 직관과 계산이 맞는지 검증
  • 옳은 직관만 남음. 가장 큰 수 검증.
• 신호처리기술
  • 벡터의 긴 수열로 처리
  • 이미지를 메가픽셀 (100만x3(RGB)=300만)로 표현
  • 평면 두 숫자, 공간속 위치는 세 숫자의 벡터
• 300만 차원의 한점인가?
  • 방법1 수학 이론 이용하기
  • 방법2 직관 이용하기
  • 유클리드 첫번째 공준 : 공간 사이에 두 점을 찍음. 이 공준은 300만 차원에서도 사실
  • => 이를 이용 : 모핑, 단절없이 얼굴을 다른 얼굴로 바꾸는 기술

수학 교육은 악보 보는 법과 음계 연습만 가르치는 음악 교육과 같다.

– 폴 록하드(1961~)

2강. 어려운 문제를 푸는 법

여러분야는 성공만 해야 한다. 실패의 댓가가 크다.
그러나, 수학은 다르다. 수 많은 시행착오를 할 수 있다.

전문가란 세부 전문 분야에서 일어날 수 있는 모든 실수를 다 해 본 사람이다.

– 닐스 보어 (1885~1962) 덴마크 물리학자

• 케플러
  • 코페르니쿠스 지동설 : 완벽한 원형.
  • 궤도를 계속 바꿔봤지만 일치하지 않음.
  • 그렇다면 공전궤도가 원형이 아니다.
  • -> 삼각 측량법 (항해기술, 고정된 2개의 지표로 배의 위치 확인) 사용
  • 2개 지표 필요 : 태양, 화성(고정되어 있다고 가정)
  • 화성은 687일마다 제자리로 온다 (코페르니쿠스)
  • -> 687일마다 관측, 시계열에 맞춰 관측하면(687일, 1374일, ..) 태양도, 화성도 고정된 상태 => 지구의 위치 확인, 화성의 위치 확인
  • 케플러의 행성 운동 법칙

3강. 그룹 테스트: 매독 환자 골라내기

• 그룹테스팅
  • 2차세계대전 매독검사 : 검사비용
  • 혈액을 섞어서 검사
  • 10명 > 5명 > 2명
  • 동전무게재기 : 가짜 동전 가려내기
  • MRI 압축센싱 : 필요한 영역만 고품질로

4강. 최고의 검색 엔진 만들기

• 초기 검색엔진
  • 무작위
  • 효용성이 고려되지 않음
• 수작업 쉬위표 : 한계
• 자동 순위표 필요
• 그래프 라는 추상적 이미지로

• 링크로 중요한 페이지
  • 단계1. 그래프 만들기
  • 단계2. 순위 매기기
    • 많은 링크가 걸린 곳
  • 문제는 링크마다 중요도가 다름

수학적 실패는 부분적 성공이다.

• 중요도 값을 계속해서 변경
• 계속해서 반영
• 갱신의 반복은 행렬의 곱셈
• 계속 반복하면 중요한 웹페이지의 순위가 정해짐

• 수십억의 사이트에서는 쉽지 않음.
  • 인터넷 전체를 계산 불가능
• 스파이더 프로그램 : 링크를 타고 웹 페이지를 하나씩 돌아다니면 정보를 수집한 후 가중치를 하나씩 갱신
• 세르게이 브린과 래리 페이지 -> 알고리즘 특허 : ‘페이지랭크‘ => 구글
• 그래프 이론과 행렬 곱셈으로 웹 페이지에 순위를 매김

5강. 스마트폰이 내 얼굴을 알아보는 법

알파고

• 어린이 수학퀴즈
  6, 14, 36, 98
  수열끝에 가장 어울리는 수는?

• 회귀 Regression
  변수간의 관계를 분석하는 통계학적 방법

• 좌표평면의 점과 같다
  일단 학습용 데이터를 ‘산점도’라는 그래프로 정리

• 선형회귀

• 다차원 데이터도 회귀 분석이 가능
• 초기 회귀분석은 2~4개의 변수, 즉 2~4의 자유도만 다루었다.
• 자유도 : 표본 자료 중 모집단에 대한 정보를 주는 독립적인 자료의 수

• 사실 기계학습은 그 하나만으로도 학문
• 지도학습: 일단 입력값과 출력값을 짝지어 학습시키는 방법
• 비지도 학습 : 출력값을 주지 않고 미가공 데이터만 넣고 기계가 답을 추측, 이미지와 패턴만 주고 규칙을 알아서 배우게 하는 방법
• 강화학습 : 기계가 답을 맞히면 상을 주고 틀리면 벌을 주는 방법, 기계가 점진적으로 전략을 바꿈

위대한 수업3(GREAT MINDS) : 과학의 풍경 – 프랭크 윌첵

프랭크 윌첵 : 애니온, 시간결정

1강. 흄의 단두대를 피하는 방법

“과학에는 아무런 목적성이 없다.” – 데이비드 흄

사실(과학)과 가치(비과학)사이에는 피할 수 없는 간격이 존재하며 이를 서로 엮으려 하면 죽는다. – 흄의 단두대

흄의 단두대를 피하는 방법

사실(What is)을 알아내고 그 속에서 가능성(What could be)을 찾아내어 궁극적으로 당위(What should be)를 선택해 가는 것이다.

기나긴 인류 역사 중 19세기를 통틀어 가장 중요한 사건은 누가 뭐래도 맥스웰이 전자기학 법칙을 발견한 것이다.
– 리처드 P. 파인만

물리학 대부분과 화학 전체를 수학적으로 다루는데 필요한 기본 법칙은 이미 밝혀졌다.
단지 그 법칙들을 적용해 복잡한 방정식을 푸는게 어려울뿐이다.
– 폴 디렉

코어이론 – 세상의 작동 원리

과학은 우리에게 가능성을 알려주고 그것으로 우리는 무엇을 해야하는지 예리하게 논할 수 있다.
어떤 미래가 가능한지 잘 살펴보고 우리가 바라는 바를 정하는 것이다.
그리고 다시 과학을 통해 해야 하는것을 과학으로 만드는 것이다. 즉, 과학을 통해 목표를 정할 수 있다.

2강. 양자역학에 만든 세계

원자 시계, 시뮬레이션, 컴퓨터 등에 활용

‘기본법칙은 이미 밝혀졌지만 방적식을 푸는게 어려울 뿐이다’는 폴 디렉의 말은 현존하는 세계를 잘 설명하고 있다.

컴퓨터를 활용하여 항공역학 풍동실험을 대체

양자 컴퓨터, MRI, 질산 공동센터 다이아몬드.

결론은 먼 미래에는 에너지가 아주 풍족해질것이다.

다이슨스피어, 궤도 엘리베이터, 초소형 의사

“세상은 양자역학에 기반한다.”
자연은 고전역학을 따르지 않는다.
자연을 모사하려면 양자역학을 취해야 한다.
문제는 그게 결코 쉽지 않다는 것이다.
– 리처드 P. 파인만

3강. 아름다움이란 무엇인가?

자신에게 준 영감

‘당위성 (Should be)’을 찾아야 무엇이 사실인지를 똑바로 볼 수 있다.

아름다움은 진실을 이끈다.

프렝크 윌첵

• 아름답다?
  • 간결해야 한다.
    • 사실을 분명하고 짧게 설명할 수 있어야 한다.
  • 조화로워야 한다.
    • 잘 어울려서 만족스러운 상태이어야 한다.
  • 대칭
  • 놀이

간결함

• 프롤레마이오스 (AC. 150) : 천구의 움직임 설명
  • 간결하지 않고 호성의 이상한 움직임
• 코페르니쿠스
• 아이작 뉴튼 (1642 ~ 1727)
  • 더 정확하고 일반적인 체계로 행성의 운항을 설명
  • 만유인력의 법칙

자연은 낭비가 없고
필요 이상으로 많은 원인은 낭비이다.
자연은 단순해서
불필요한 원인이라는 낭비를 피한다.

아이작 뉴튼 (1642~1727)

“그래야만 하는것(Should be)”에 더 잘 맞았다.
헬리혜성 예

조화

제임스 맥스웰 (1831~1879)
– 전자기장 법칙을 정리하려 노력
– 전기장. 자기장이 어울리도록 더 아름답게 유도

– 전기장이 변하면 자기장도 변화. 그렇다면 자기장이 변하면 전기장도 변해야. 더 조화롭게. 전하량 보존에도 적합

빛은 전기장의 요동으로 이해하게 되었고, 새로운 빛도 만들어 낼 수 있게 되었다.

원자핵에 대한 이해

강입자에 대한 이해

데이터가 아니라 ‘추측’이 우리를 진실로 이끌었다.

더 간결하고 조화롭게 균형잡힌 설명을 찾으려고 노력하였다.
– 대칭으로 찾음.
– ‘양자색역학’ QCD : 맥스웰의 방정식에 색을 입힘.
– 쿼크나 글루온은 절대로 독립적으로 관측되지 않기 때문에 실험으로 밝힐 수 없었다.
– 과감한 ‘상상력’이 필요했다.
– 균형있고, 조화롭고, 간결한 진실이 있다고 생각하려 노력하였다.
==> 노벨상

4강. 물리 법칙의 이상형, 대칭

대칭 (Symmetry)

인간은 ‘대칭’을 좋아합니다.
– 대칭적인 건물, 장식, 성당
– 프랙탈
– 균형과 매력을 느낌

진화는 ‘대칭’을 좋아합니다.
– 캡시드, 바이러스의 대칭적 구조
– 나무의 프랙탈 구조
– 브로콜리, 콜리플라워

왜 대칭적일까?

단순한 성장 법칙이기 때문이다. 즉, 자연의 기본 작동 방식에 대칭의 원리가 있다.
– 결정체를 수학적으로 연구해보면 알 수 있다.

양자역학과 대칭

‘대칭’ 이란 ?
– 대칭이란 ‘변화 없는 변화‘ 이다.
– 사각형, 삼격형을 돌리면 다시 제자리로 간다. 대칭성이 있다.
– ‘변화 없는 변화’는 물체가 도형뿐만 아니라 개념이나 법칙, 방정식에도 적용되는 개념이다.
– 맥스웰의 방정식
– 양자 색역학, 글루온
– 상상으로 대칭성을 알아냄.

5강. 이 세계는 아름다운가 ?

‘시간 역전’
– 시간이 거꿀로 흐른다고 가정해도 같은 법칙에서 나온다는 것
– 거꾸로 움직이는 영화를 똑같은 법칙으로 설명할 수 있다.
– 거시세계에서는 이상하게 보이지만, 지극히 작은 세상에서는 시간이 어느쪽으로 흐르든 법칙이 똑같다.

질문1. 그런데 왜 현실은 다르게 보이는걸까?
– 열역학 제2법칙, 엔트로피의 증가
– 빅뱅 이후 비대칭으로

질문2. 그런데 왜 물리학 법칙은 대칭적일까?
– K 중간자 연구, 시간 역전, 엑시온
– 법칙을 더 아름답게 만들려고 입자를 추가, 결과는 훌륭, 엑시온 생성
– 이 엑시온을 암흑물질로 볼 수 있다. 엑시온이 암흑물질인지는 연구중.

놀이

나는 그저 ‘방정식을 갖고 놀며 결과를 관찰할 뿐’이다. – 폴 디랙 (1902~1984)

나도 그랬고 나의 놀이 같은 상상이 실제 물질로 나타났다. – 프랭크 윌첵

세상이 날 어떻게 보든
난 내가 지식의 광활한 바닷가를 거니는
아이라고 생각한다.
난 드넓은 미지의 바다 앞에서
간혹 반짝이는 조약돌을 찾고
즐거워 할 뿐이다.

아이작 뉴튼